SOBANUKIRWA: Ahaho ntibyoroshye Iby’Abanyamibare

Ese abanyamibare bashobora gutanga igisobanuro cy’ubuzima, isanzure n’ibindi byose? Simbizi. Gusa kugerageza iteka ni ingenzi.

Bumwe mu buryo bwo kugerageza uko ikintu gishoboka butanga igisa n’ishusho y’intangiriro ya byose bwarakozwe, bakoreshejwe iki mubona muri iyi shusho hasi.

∑, ∞ na za n nyinshi. Ibi bisa n’ibigoye benshi guhita bumva.

Ni ihurizo ry’imibare isanzwe, ariko iyo urisubiyemo kugeza k’ubuziraherezo (infinie), rivamo umubare wahugije abahanga bakomeye cyane mu mibare kuva mu kinyejana cya 18.

Ikibazo cy’ingenzi cyari: Igisubizo cy’iryo hurizo ridafite iherezo ni ikihe?

Igisubizo ni uko nta gisubizo kiriho: Niba ukomeza kwikuba uwo mubare ubuziraherezo, uzakomeza guhinduka hagati ya 0 na 1 ariko ntuzigere ugira aho ugarukira.

Gusa igitangaje ni uko hari inzira enye gusa zakomeje kugeragezwa kuva icyo gihe mu gushaka igisubizo. Kandi inzira itangaje kurusha zose ni yo ishobora no kuba yaremeje umuhanga mu mibare wa mbere wazanye iri hurizo, izwi ku izina rya ‘Grandi’s Series’ cyangwa ‘Serie de Grandi’.

Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) ni umupadiri, umuhanga muri filozofiya, umunyamibare, na enjeniyeri wavukiye i Crémone, ubu ni mu Butaliyani.

Ubuhanga bwe mu mibare bwatinze kugaragara, ariko igitabo cye cya mbere, Geometrica divinatio Vivianeorum problematum, cyasohotse mu 1699, cyatumye amenyekana iwabo no mu mahanga.

Byatumye mu 1707 ahinduka umwe mu banyamibare bakomeye muri ako gace, ahabwa urwego rwa Cosme III de Médicis, ashingwa imishinga y’ubwubatsi n’ibindi harimo no gukamya igishanga cya Chiana cyangwa Valdichiana cyo mu Butaliyani.

Yagize uruhare kandi mu gusohora ibitabo bya mbere by’umuhanga Galilée. Yagiriye inama Papa wa Kiliziya Gatolika ku kuvugurura ikirangaminsi.

Kwemerwa no hanze y’igihugu cye byatumye mu 1709 ashyirwa muri Royal Society de Londres, nyuma y’uko umuhanga Isaac Newton atangaje iby’imirimo ye ku ishingiro rya muzika.

Gusa umwe mu mirimo ye ni wo watangaje, uretse abahanga nka we, ahubwo n’isi yose, kuko wazanye ihurizo rikomeye ryahawe izina rye.

0, 1, 1/2

Igitabo yasohoye mu 1703 cyitwa ‘Quadrature du cercle et de l’hyperbole’ kirimo ibisubizo byatumye abantu benshi bagira amatsiko.

Grandi yize ku ihurizo ridafite iherezo rya 1 – 1 + 1 – 1 + – – –

Kandi asanga kongeraho udukubo ( ) bitanga ibisubizo bitandukanye.

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)… bitanga 0 + 0 + 0…, bikangana na 0.

Ariko ubyanditse utya: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)… aho igiteranyo kiba 1 + 0 + 0 + 0…, byatanga 1.

Ubwabyo biratangaje.

Igitangaje kurushaho ni uko yemeza ko igiteranyo cy’ubuziraherezo bwa zeru kigana na 1/2.

Umugani w’abavandimwe babiri barazwe umurimbo umwe

Grandi yahisemo kwemeza icyo gisubizo ashingiye ku mugani w’abavandimwe babiri barazwe n’ababyeyi babo umurimbo w’agaciro.

Bababuza kuwugurisha cyangwa kuwucamo kabiri kuko byawutesha agaciro.

Abo bavandimwe bemeranyije kujya bakuranwa gutunga uwo murimbo, buri munsi w’umwaka umwe akawuha undi.

Ufashe ko ubwo bwumvikane buzahoraho, uzatunga uwo murimbo yagaragazwa muri ubu buryo bw’imibare: 1 – 1 + 1 – 1 + – – –

Bityo buri muvandimwe yabaye nyiri umurimbo mu gihe kingana na kimwe cya kabiri, mu buryo agaciro k’uwo murimbo kangana na 1/2.

Ariko umwe muri bo, by’umwihariko, ntiyakundaga ibitekerezo bya Grandi.

Mushobora gutungurwa, ariko abanyamibare benshi bo muri icyo gihe bemeranyaga n’ibyo ko ari cyo gisubizo.

Icyamamare Leibniz nawe yageze kuri icyo gisubizo aciye izindi nzira atangaza ko 1/2 ari cyo gisubizo abona nyakuri, cyane ko yemeye ko iri hurizo ari “metaphysique kurusha uko ari imibare (mathématique)”.

Umusuwisi Leonhard Euler, umwe mu bakomeye kandi bazwi cyane mu banyamibare b’ibihe byose, nawe yakoze imibare ye maze mu 1760 arandika ati:

“Nta gushidikanya ko série 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + etc… n’igice cya 1/2 ari ibintu bingana kandi iteka byemewe kugabanya kimwe ku kindi nta kwibeshya”.

Kimwe n’aba, abandi banyamibare mu Burayi na bo bagiye impaka kuri iyi mibare idafite iherezo nabo bagera ku myanzuro yabo.

Ariko umwe muri bo, by’umwihariko, ntiyakundaga ibitekerezo bya Grandi.

Alessandro Marchetti (1633 – 1714), umwalimu w’imibare muri kaminuza ya Pise mu Butaliyani, kaminuza yashinzwe mu 1343, ntabwo yakundaga uburyo Grandi yari yamamaye.

Mu kugerageza kumutesha agaciro, yanenze bikomeye igitabo cye.

Mu kumusubiza, Grandi yasohoye igice cya kabiri cya Quadrature… mu 1710.

Ariko kuri iyi nshuro, yemerewe gushyiramo igitekerezo abagenzuzi bari bategetse ko avana mu gice cya mbere, ibintu yari yemeye atazuyaje.

Icyo gitekerezo gitangaje kurusha ibisubizo yari yabonye.

Ingingo yacyo yavugaga ko mu kongeraho udukubo ( ) kuri rya hurizo1 – 1 + 1 – 1 + – – byashobokaga kubona igisubuzo, mu buryo bunyuranye, cya 1 cyangwa 0, “bityo igitekerezo cyo kurema ex nihilo cyakwemerwa cyane”.

Kurema ex nihilo ni ukurema uhereye ku busa.

Yongeraho ko, niba ingano (quantity) y’ikintu igaragara neza ishobora kuva mu mubare wa za zeru zidafite iherezo, “birakwiye kwemera imbaraga z’ubuziraherezo”, “imbaraga n’iyo wakuba ubusa zibuhindura ikintu, nk’uko wagabanya ikintu kiboneka kigahinduka ubusa”.

Yongeraho ati: “Ni muri izo mbaraga zitagira iherezo z’Imana umuremyi ibintu byose byabayeho bivuye mu busa, kandi ibintu byose bishobora gusubizwa mu busa”.

                   Ibiri mu gitabo « Iremwa ry’isi no gusandara kw’ijuru», cya Giovanni di Paolo, 1445

Gutyo, Grandi asa n’uwabashije gusobanura mu buryo bw’imibare ko Imana ari yo yaremye byose ihereye ku busa.

Mu 1711 Alessandro Marchetti yahise asohora inyandiko irwanya igitabo cya kabiri cya Grandi, uyu na we yongera kumusubiza mu nyandiko yanditse mu 1712.

Izo mpaka zarakomeje kugeza ku rupfu rwa Marchetti mu 1714.

Ingingo za Série de Grandi ntabwo zacitse intege, nubwo ubu zitabasha guhagarara imbere y’imibare yo muri iki gihe, ariko haracyariho uburyo imibare ibura iherezo muri Série de Grandi ingana na 1/2.

Ubwo buryo buzwi ku izina rya Cesàro, bwitiriwe umunyamibare w’Umutaliyani Ernesto Cesàro wo mu mpera z’ikinyejana cya 19 wabusobanuye kurushaho.

Gusa amasoko menshi avuga ko igitekerezo rusange cy’abanyamibare bo muri iki gihe avuga ko agaciro ka Série de Grandi atari 1, atari 0, atari na 1/2.

Ko igisubizo cy’iryo hurizo ridafite iherezo ari ubusa, ariko ko niba hari igisubizo cyabaho cyaba ari 1/2.